отрезком toй же длины, что и максимальное отклонение частицы, к траектория изображающей точки на фазовой плоскости имеет вид окружности.
Результат, который мы получили на простом примере имеет общее значение. В том случае, если движение частицы (или шарика) происходит в ограниченной области пространства, изображающая точка кружит на фазовой плоскости вокруг некоторого центра (иногда таких цент ров может быть несколько).
Возьмем теперь не один шарик, а много, например, 100 шариков на пружинках. Движение каждого из них изображается на фазовой плоскости точкой, описывающей круговую траекторию. Если шарики в некоторый момент времени имеют близкие значения координат и скоростей, эти точки занимают на фазовой плоскости площадь, ограниченную некоторым контуром. С течением времени кон тур передвигается по фазовой плоскости и меняет свою форму. Если частота колебаний у всех шариков одинакова, то контур мало меняется, а если частоты различны, то изображающие точки постепенно расползаются и, в конце концов, заполняют некоторое кольцо.
Наибольший интерес представляет случай, когда в точности одинаковые шарики привязаны одинаковыми пружинками. Как в этом случае меняется наш контур? В простом случае, когда силы описываются формулой (33), ответ почти очевиден: контур вращается вокруг центра как целое с той же угловой скоростью, что и каждая изображающая точка. В общем случае, когда силы сложным образом зависят от координат, задача оказывается более трудной. Эта задача подробно изучается в теоретической механике. Ответ заключается в том, что при движении без трения контур, охватывающий изображающие точки, р общем случае может сложным образом деформироваться, но сохраняет свою площадь. Это утверждение носит название теоремы Лиувилля.
Вернемся теперь к пучкам заряженных частиц. Эти пучки состоят из многих частиц, совершающих — с разными начальными условиями — движение под действием «одних и тех же пружинок» в одном и том же магнитном поле. В фазовой плоскости точки, изображающие эти частицы, занимают некоторую площадь. Движение пучков и движение системы шариков на пружинах имеют много общего. Следует отметить, однако, и важное различие. Шарики все время движутся под действием одних и тех же пружинок, возвращающих их к положению равновесия. Частицы, вообще говоря, движутся в разных условиях. Они то попадают в зону действия магнитных сил,’ играющих роль пружинок, то выходят из поля и летят свободно. Частицы в ускорителях больше похожи на световые лучи в оптической системе (где они проходят то в линзах, то в воздухе), чем на привязанные к пружинкам шарики.
Прежде чем заняться движением пучков заряженных частиц в ионно-оптических системах ускорителей, рассмотрим движение световых
