Архимедово лето. Глава тринадцатая.

степень первого члена разложения и коэффициент при втором члене всегда равна степени разложения; третий — коэффициенты идут симметрично, первый с начала равен первому с конца и так далее; четвертый — степени а идут, понижаясь, от степени разложения до нулевой (когда а обращается в единицу!)…

— Невидимую единицу, — заметила Веточка.

— Ясно, что невидимую! — подхватил Ника. — А в это же время степени b идут как раз в обратном порядке, то есть возрастают. Из этого выходит, что сумма степеней а и ft в каждом члене оди­накова. ..

— …и равна степени разложения, — подсказал Вася.

— Точно! Теперь по этим правилам мы бы могли построить любое разложение, да не хватает еще закона строения коэффи­циентов. ..

— Можно добавить еще пятое правило, — сказала Наташа: — коэффициенты при первом и последнем члене разложения всюду равны единице.

— Да, — отвечал докладчик, — это будет в-пятых. Верно. А теперь давайте просто выпишем все коэффициенты, которые у нас получи­лись вплоть до пятой степени. Получим вот что:

clip_image012

А из этой таблички мы можем сделать сразу два вывода, один другого лучше, первый это то…

— …что это та же самая Васина табличка, арифметический треугольник! — весело сказала Веточка. — Только ты написал ее по- другому. Ишь, как подвел! Ох, и хитрющий же он, наш Кожемяка!

2.

Ника расхохотался, очень довольный своей уловкой, и продолжал:

— Да, собственно, мне и говорить-то теперь нечего. Веточка все за меня уже сказала. Каждое число этой таблички равно сумме двух чисел, стоящих над ним в верхней строке. Это раз. А потом — действительно это арифметический треугольник, а следовательно, этот замечательный треугольник легко продолжать как угодно далеко (только не ври в сложениях!), и он дает нам коэффициенты для разложения двучлена в любой степени! Это и есть самое его знамени­тое качество.

— Добавлю еще одно качество, — заметил дед, — полезное для проверки: сумма коэффициентов разложения — или любой строки арифметического треугольника — равна 2″, где п — степень разло­жения.

— До чего все аккуратно выходит! — не вытерпел Вася. — Так оно друг к другу и ложится вровень… Вот что мило!

— Да!—отвечала ему, засмеявшись, Наташа. — Это ты, Вася, хорошо подметил.

— Если уж говорить о том, — отвечал им дед, — как все хорошо друг к другу подходит, то я вот еще на какой важный пункт обращу ваше внимание. Треугольник Паскаля в дальнейшем очень скоро повел к построению особой формулы, которая дает возможность воз­вести сумму (или разность) в любую степень. Эта

Страница 5 of 22« First...56...1020...Last »
Category: Разное