степень первого члена разложения и коэффициент при втором члене всегда равна степени разложения; третий — коэффициенты идут симметрично, первый с начала равен первому с конца и так далее; четвертый — степени а идут, понижаясь, от степени разложения до нулевой (когда а обращается в единицу!)…
— Невидимую единицу, — заметила Веточка.
— Ясно, что невидимую! — подхватил Ника. — А в это же время степени b идут как раз в обратном порядке, то есть возрастают. Из этого выходит, что сумма степеней а и ft в каждом члене одинакова. ..
— …и равна степени разложения, — подсказал Вася.
— Точно! Теперь по этим правилам мы бы могли построить любое разложение, да не хватает еще закона строения коэффициентов. ..
— Можно добавить еще пятое правило, — сказала Наташа: — коэффициенты при первом и последнем члене разложения всюду равны единице.
— Да, — отвечал докладчик, — это будет в-пятых. Верно. А теперь давайте просто выпишем все коэффициенты, которые у нас получились вплоть до пятой степени. Получим вот что:
 |
А из этой таблички мы можем сделать сразу два вывода, один другого лучше, первый это то…
— …что это та же самая Васина табличка, арифметический треугольник! — весело сказала Веточка. — Только ты написал ее по- другому. Ишь, как подвел! Ох, и хитрющий же он, наш Кожемяка!
Ника расхохотался, очень довольный своей уловкой, и продолжал:
— Да, собственно, мне и говорить-то теперь нечего. Веточка все за меня уже сказала. Каждое число этой таблички равно сумме двух чисел, стоящих над ним в верхней строке. Это раз. А потом — действительно это арифметический треугольник, а следовательно, этот замечательный треугольник легко продолжать как угодно далеко (только не ври в сложениях!), и он дает нам коэффициенты для разложения двучлена в любой степени! Это и есть самое его знаменитое качество.
— Добавлю еще одно качество, — заметил дед, — полезное для проверки: сумма коэффициентов разложения — или любой строки арифметического треугольника — равна 2″, где п — степень разложения.
— До чего все аккуратно выходит! — не вытерпел Вася. — Так оно друг к другу и ложится вровень… Вот что мило!
— Да!—отвечала ему, засмеявшись, Наташа. — Это ты, Вася, хорошо подметил.
— Если уж говорить о том, — отвечал им дед, — как все хорошо друг к другу подходит, то я вот еще на какой важный пункт обращу ваше внимание. Треугольник Паскаля в дальнейшем очень скоро повел к построению особой формулы, которая дает возможность возвести сумму (или разность) в любую степень. Эта