два отдельных квадратика здесь преобразуются в один большой квадрат. Заметьте еще, что длина гипотенузы треугольничка, само собой разумеется, равна корню квадратному из суммы двух квадратов — это тоже полезная вещь! Разберите уж, кстати, и третий чертеж!..
— Хорошо, — сказал Ника, — разберем. А теперь немного далее. Если мы возьмем не квадрат суммы, а куб суммы, то алгебраически это будет, как известно,
(а + й)3 = а3 + 3а2й+3яй2 + й3.
 |
 |
А на чертеже он вот какой! Все его части легко здесь разобрать. Для четвертой степени геометрической моделью пользоваться уже нельзя; поэтому попробуем рассмотреть, нет ли какого-нибудь правила, которое позволило бы без особенного труда и постоянных перемножений алгебраических выражений получать степени суммы. Для этого я предложу вам вот такую схему. Здесь все черные стрелки (они идут справа налево) изображают собой умножение на а, стрелки же с пунктиром (слева направо) изображают умножение на Ь. Единица в квадратике на самом верху ничего, кроме себя самой, не изображает, исключая разве то, что а или й, взятые один раз, равняются самим себе, а сверх того, что любая величина в нулевой степени принимается равной единице (величина в нулевой степени обозначает частное от деления величины на самое себя). В двух следующих (тройных) кружках стоят в первом ряду начальные данные, а во втором крайние (двойные) кружки дают произведения предыдущих величин на начальные, то есть степени исходных данных, а в остальных — суммы произведений (так как к каждому простому кружку идут две стрелки, то сюда сходятся два одинаковых произве
дения, которые и складываются). Схему эту нетрудно продолжить и далее, а тогда можно получить, построив четвертую и пятую строки при помощи таких же стрелок-указателей умножения, еще степени суммы:
(а + ft)4 = а4 + 4 аъЬ + 6 a2ft2 + 4 аЬъ + ft4, (а + ft)5 = а* + 5 аАЬ + 10 aW + 10 a2b* +5 aft4 + ft5.
Если будем рассматривать нашу схему, дополненную (вместе с верхней единицей) до шести строк, мы можем сделать из наших примеров несколько важных выводов. Ну, первый — число членов разложения степени суммы всегда на единицу больше, чем степень, в которую мы возводили наш двучлен, то есть сумму; второй —