Архимедово лето. Глава тринадцатая.

два отдельных квадратика здесь преобразуются в один большой квадрат. Заметьте еще, что длина гипотенузы треугольничка, само собой разумеется, равна корню квадратному из суммы двух квадратов — это тоже полез­ная вещь! Разберите уж, кстати, и третий чертеж!..

— Хорошо, — сказал Ника, — разберем. А теперь немного далее. Если мы возьмем не квадрат суммы, а куб суммы, то алгебраически это будет, как известно,

(а + й)3 = а3 + 3а2й+3яй2 + й3.

clip_image008
clip_image010

А на чертеже он вот какой! Все его части легко здесь разобрать. Для четвертой степени геометрической мо­делью пользоваться уже нельзя; поэтому попробуем рассмотреть, нет ли какого-нибудь правила, которое позволило бы без особенного труда и постоянных пе­ремножений алгебраических выражений получать сте­пени суммы. Для этого я предложу вам вот такую схему. Здесь все черные стрелки (они идут справа налево) изобража­ют собой умножение на а, стрелки же с пунктиром (слева направо) изображают умножение на Ь. Единица в квадратике на самом верху ничего, кроме себя самой, не изображает, исключая разве то, что а или й, взятые один раз, равняются самим себе, а сверх того, что любая величина в нулевой степени принимает­ся равной единице (величина в нулевой степе­ни обозначает частное от деления величины на самое себя). В двух следующих (тройных) кружках стоят в первом ряду начальные дан­ные, а во втором крайние (двойные) кружки дают произведения предыдущих величин на начальные, то есть степени исходных данных, а в остальных — суммы произведений (так как к каждому простому кружку идут две стрел­ки, то сюда сходятся два одинаковых произве­
дения, которые и складываются). Схему эту нетрудно продолжить и далее, а тогда можно получить, построив четвертую и пятую строки при помощи таких же стрелок-указателей умножения, еще степени суммы:

(а + ft)4 = а4 + 4 аъЬ + 6 a2ft2 + 4 аЬъ + ft4, (а + ft)5 = а* + 5 аАЬ + 10 aW + 10 a2b* +5 aft4 + ft5.

Если будем рассматривать нашу схему, дополненную (вместе с верх­ней единицей) до шести строк, мы можем сделать из наших примеров несколько важных выводов. Ну, первый — число членов разложения степени суммы всегда на единицу больше, чем степень, в которую мы возводили наш двучлен, то есть сумму; второй —

Страница 4 of 22« First...45...1020...Last »
Category: Разное