Архимедово лето. Глава тринадцатая.

порядке, в каком буквы берутся нами из всех наших трех скобок-множителей, а вместо скобок и не­скольких плюсов я буду ставить вертикальную черту и один плюс:

(.а + bf = (а + Ь) (а + Ь) {а±Ь) = = ааа + aab + abb + bbb = aba bab baa bba

= a? + 3 a2b + 3 ab* + b

Рассматривая, как у нас записано а2Ьу мы видим, что буква Ь побы­вала на всех трех возможных местах, будучи взята из третьей, вто­рой и первой скобок по очереди. Но это и есть число сочетаний из трех элементов по два. А если тем же способом разобрать возведение двучлена в четвертую степень — и я горячо советую всем товарищам проделать это!..

— Сделаем! — отвечал Левка.

— … тогда еще яснее будет, какую роль в этом деле играют со­четания. .. Теперь ты, Вася, дополнишь?

— Да уж у меня, пожалуй, и всё! — ответил Вася.

Дедушка Тимоша поглядел на ребят и заметил:

— Тогда уж мне два словечка разрешите.

— Просим! — важно отозвался Лева, потому что он помнил, как его собственный отец иногда так говорил за столом, когда хотел быть с кем-нибудь полюбезней.

— Можно еще заметить, — выговорил дедушка, — что фигурное число d-го порядка и первой степени — а мы уж говорили с вами о том, что в арифметическом треугольнике все фигурные числа именно первой степени (k— 1), — будет таково:

Fd1 + Г1{п)~ d (л —1)! *

Но если бы мы с вами занялись изучением числа сочетаний из (d–n—1) элементов по Зили по (п — 1) (что сводится к одному и тому же числу сочетаний), то убедились бы, что число их как раз и равняется этому фигурному числу первой степени d-го порядка. Обычно число сочетаний обозначается прописной буквой С с двумя индек­сами. Нижний индекс обозначает число всех элементов, верхний — число элементов в группе. Из соображений симметрии можно все сказанное записать таким образом:

r?d f^d Wrt — 1)

*1(л) = W+<«- 1) = W +

Возьмем те же Бовины стулья, только не четыре, а пять. Из этого примера можно понять, что нам безразлично, что именно под­считывать: либо как усаживаются два мальчика, либо как расстав­лены три пустых стула относительно тех, на которых мальчики усе­лись. Существует немало важных математических вопросов, которые можно разрешить с помощью теории соединений. Насчет треуголь­ных чисел и квадратных можно продемонстрировать одну красивую
диаграмму, которая была известна еще знаменитому греку Диофанту. Она пока­зывает, что если из квадрата нечетного числа вычесть единицу, то разность мож­но представить в виде восьми треуголь­ных чисел. Это можно записать так:

8Г+1=/(,

где Т — треугольное число; К — квадрат­ное. Или так:

Откуда ясно, что если ты хочешь представить квадрат какого-нибудь нечетного числа через восемь треугольных чисел, то надо взять такие треугольные числа, номер которых (см. гл. XII, разд. 3) будет равен

а — 1 2 ‘

где а — это число, о квадрате которого

Страница 10 of 22« First...1011...20...Last »
Category: Разное