Архимедово лето.Глава одиннадцатая.

набе­гает еще день. И получается не седьмой год, а шестой.

— А про признаки делимости все-таки любопытно,— заметил Вася, возвращаясь к прежней теме, — я где-то читал насчет признака дели­мости на семь… Не помню только, в чем там дело!

— Наверно, можно разобрать, — сказал Ника.— Ну-ка, попробуем. Начнем… с чего бы нам начать?.. С десяти разве?

— А не лучше ли с единицы? — возразил Вася.

— Да, пожалуй, ты, Васятка, прав! — согласился Никита. — Нач­нем с единицы: делим единицу на семь — в частном нуль, в остатке единица. Записываем сие сравнением:

1Е1 (mod 7), или 10° Е 1 (mod 7), Теперь берем десяток:

КРЕЗ (mod 7).

Другими словами, десять при делении на семь, как это всем на свете известно, дает в остатке три. Теперь будем брать следующие степени десяти одну за другой,. что соответствует последовательным знакам числа, написанного по десятичной системе:

102 Е 2 (mod 7); 10* Е 6 (mod 7); 104E4(mod 7);

105 Е 5 (mod 7); Ю^ El (mod 7).

Значит, я взял десять, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч и миллион. Однако начиная с миллиона и дальше остатки от деления на семь на­чинают снова повторяться. Действительно: миллион дает в остатке еди­ницу, как и десять в нулевой степени; десять миллионов снова три и так далее.

— Что-то хитро получается! — заметил Вася.

— А толку пока еще не видно! — заявил Лева.

— Не торопись! — ответил Никита. — Сейчас припомню, как это выходит… А-а, вспомнил! Вот в чем дело: мы уже говорили, что сравнение остается справедливым, если к одной его части при­бавить число, кратное модулю. Но если можно прибавлять, то можно и отнимать! Поэтому я, не касаясь моих трех первых сравне­ний (для 10°, 101 и 102), вычту из правых частей следующих трех срав­нений (для 103, 104 и 105) наш модуль семь. Тогда, очевидно, у меня в правых частях этих трех последних сравнений появятся отрицатель­ные числа. И я получу:

103 = — 1 (mod 7); 104E-3(mod 7); 10& = -2(mod 7).

— Так, — произнесла Наташа. — Это, конечно, верно, спору нет. Только… зачем тебе это надо?

— А вот сейчас увидишь, — ответил Ника, бессменный (или почти бессменный) председатель Тускарийских ассамблей. — Если я теперь буду обозначать при помощи буквы а последователь­ные цифры в числе, написанном по десятиричной системе, а внизу около буквы а буду ставить подписной значок, который будет равен той степени десяти, которая соответствует знаку, стоящему на этом ме­сте, то есть а0 у меня обозначает единицы, ах—десятки и так далее, to я могу утверждать, что число, которое удовлетворяет такой формуле:

л = а0 + За, + 2а2 — Да — За4 — 2а5 + а6 + За, + .. .

должно делиться на семь без остатка.

Ребята ненадолго замолчали. Наконец Вася промолвил:

— Действительно… что-то в этом роде.

— Не пойму! — возразил Лева.

Снова ребята

Страница 26 of 28« First...1020...2627...Last »
Category: Разное