вопросик, — заявила Веточка. — Вот эти сравнения, которые ты, Ника, привел, годятся ведь только для этого магического квадрата пятого порядка (см. чертеж на стр. 255)?
— Разумеется, — отвечал Ника. — Это просто пример одного из механических приемов для построения нечетных магических квадратов; мы видим, как можно привести все это в ясность при помощи сравнений. То же можно сделать и для способа «террас» и для византийского способа, которые мы разбирали. Но тогда получится еше более сложно. Вопросы сравнений относятся к высшей арифметике, то есть к теории чисел — очень важной математической дисциплине, которую знаменитый немецкий математик прошлого века Гаусс называл царицей математики. Говорят, теперь с новыми счетными машинами этот раздел математики приобретает очень важное значение
— Интересно! — заявил Лева — У дедушки я видел книжку, которая называется «Математические беседы». Дедушка говорил, что там есть немало интересного про теорию чисел 2. Вот уж я не думал, чтобы остатки от деления имели такое важное значение. Всегда смотрел на них, признаться, с досадой: вот опять не делится! И больше ничего о них и не думал.
— Ты просто забыл, — поправила его Наташа. — А при нахождении общего наибольшего делителя?
— Д-да, пожалуй, — согласился Лева, — действительно.
— Это просто так кажется, — объяснила Веточка, — что остатки от деления не играют большой роли. А если вдуматься, так это не совсем так. Если спрашивают: «в котором часу произошло событие, случившееся через п часов после k-ro часа пополуночи?» — то в ответе мы и получим остаток от деления числа п + k на двадцать четыре. Или, скажем, такая задачка: даны два числа а и Ь спрашивается, в каком случае их сумма будет делиться на три? Ясно, что либо оба эти числа можно написать в виде 3л, либо одно из них можно написать так: 3« + 1, а другое: Зл+ 2. Значит, нам нужно, чтобы при делении этих чисел на три получались остатки либо нуль, либо один и два, ну вот как нам Лева рассказывал про «Ханойскую башню» (см. гл. X, разд. 5).
— «Ханойская башня»? — переспросил Лева. — Она тут при чем?
— При том, что снова идет вопрос о сравнимости. Ты разбивал весь ряд степеней числа два на два класса, которые друг с другом несравнимы, а внутри каждого класса все числа сравнимы. Так, например,
4 = 1 (mod 3),
но ведь и
16 Е 1 (mod 3),
потому что сравнение останется справедливым, если его левую часть увеличить на число, кратное модулю. В данном случае это число равно двенадцати, то есть трижды четыре. С другой стороны,
8 — 2 (mod 3) и 32 = 2 (mod 3).
— Верно, — решил Лева. — Я не подумал об этом. Правда!
— Конечно, правда, — раздался недовольный голос из качалки. — Я тебе уж сколько раз говорил, что Вета все совершенно верно говорит, а тебе только бы спорить и спорить! Лучше спроси
