Архимедово лето.Глава одиннадцатая.

делении на пять снова дают один и тот же остаток. Та­кие числа называются равноостаточными и получаются при делении на некоторое определенное число, которое в таком случае называется модулем (у нас это пять), А самые числа четыре и де­вять называются вычетами относительно друг друга. Равнооста- точные числа называются сравнимыми по данному модулю, это значит, что разность их делится на модуль без остатка. Если делить на некоторый модуль одно за другим числа натурального ряда, то остатки будут периодически повторяться.

— Хорошо бы пример! — попросила Веточка.

— Можно и пример, — согласился Ника. — Ну, скажем, будем делить числа натурального ряда на одиннадцать. Сперва в частном получаем нуль, а остатки будут:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0.

Затем в частном будет единица, а в остатках снова те же самые чис­ла. Следующее частное — два, а остатки те же самые. Ни одно из

чисел, входящих в эту десятку остатков, не сравнимо с другим. Но все числа, дающие один и тот же остаток при делении на одиннадцать, сравнимы по модулю одиннадцать и из них образуется класс чи­сел, сравнимых по модулю одиннадцать. Например, числа 2, 13, 24, 35, 46, 57… и так далее составляют класс чисел, сравнимых по мо­дулю одиннадцать, ибо все они дают при делении на одиннадцать один и тот же остаток, равный двум. Очевидно, что все числа натурального ряда таким образом разобьются на одиннадцать классов. Если же мы из каждого класса выберем по одному числу, например:

111, 101, 179, 92, 82, 72, 1360, 85, 196, 43, 110,

то мы и получим полную систему вычетов по модулю один­надцать. Действительно, числа эти при делении на одиннадцать дают все остатки, которые возможны:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0.

Значит, в полной системе вычетов есть числа, которые дают любой остаток, но нет ни одного, которое повторяло бы уже имеющийся остаток. Что же касается записи, то сравнимость двух чисел по модулю записывается так:

9 = 4 (mod 5).

Читается это так: «девять сравнимо с четырьмя по модулю пять» К Весь секрет соответственных клеток в том, что их координатные числа s у г сравнимы с координатными числами, определяющими клетки начального квадрата. Возьми хоть число одиннадцать. Оно в началь­ном квадрате имеет такие координаты: 5 = 1, г = 2. Попадая в четвертый дополнительный квадрат, это число одиннадцать приобре­тает s = 6, а г — 7. Но ведь шесть сравнимо с единицей по модулю пять, так же как семь сравнимо с двумя по тому же самому модулТо.

— Ага! — промычал с удовлетворением Лева.

— А если, — продолжал Никита, — рассматривать в косом парал­лелограмме строки, столбцы и диагонали, как в квадрате, то каждая

его строка, каждый его столбец и каждая его диагональ одинаково дают нам полную систему вычетов по модулю пять. Поскольку все числа в клетках дополнительных квадратов (а из этих чисел состоит косой

Страница 21 of 28« First...1020...2122...Last »
Category: Разное