Архимедово лето.Глава двенадцатая.

ничего и не надо. Теперь подсчитаем суммы по каждому гномону. Для этого я буду в этой последней формуле давать числу п — это ведь порядковый номер гномона! — все значения от единицы до п. Подставлю в мою формулу единицу, у меня получится:

2 1 2

Затем двойку:

И так далее, и так далее, одно число за другим вплоть до последнего, которое равно п

з , i

— /г2 —wit.

2 2

Теперь я должен сложить все эти выражения от единицы до пя Когда я все эти выражения сложу, я получу следующее:

Разберем теперь, что такое Л? Ясно, что это сумма всех квадратов чисел от единицы до п. Что такое В? Это сумма их первых степеней. Но последнюю мы умеем уже определять по правилу суммы арифме­тической прогрессии, следовательно,

В =—– 2—–

Теперь я приравниваю мою сумму по прямым сумме по гномонам:

3 л 1 п{п+ 1) __пЦп + 1)

2 2 2 2 ”

Откуда и определяю мое А. Как уже показал Вася, оно равняется:

л_(2п+1).(п+1)п

а— 5 .

Вот как прекрасно считает шашечница!

— Интересно! — решила Веточка. — А еще что можно на шашеч­нице сосчитать?

— Еще можно, — объяснил дедушка,— написать на ее полях всю пифагорову таблицу умножения, и тогда ты узнаешь, чему равна сумма кубов натурального ряда. Напиши квадраты чисел пифагоро­вой таблицы умножения — узнаешь, чему равна сумма пятых сте­пеней. Тоже небезлюбопытно.

7.

— Так, — сказал Вася,— теперь уж совсем немного осталось, рассказал почти всё. Можно еще образовать пирамидальные числа следующих степеней, пользуясь обычным нашим последовательным суммированием или по общей формуле чисел вида F :

;3 + k; 6 + 4k; 1Q+I0k; 15 + 20k.. ; ~ (n + 1) [3 + k (it-1)].

При помощи суммирования пирамидальных чисел получаем так называемые треугольно-треугольные числа (сверхпирами­дальные или кубоидные), это будут фигурные числа четвертого порядка F, причем первые из них, когда k равно единице, полу­чаются суммированием треугольно-пирамидальных:

/=? = 1, 4, 10, 20, 35,…

откуда получим:

Ft —1,5, 15, 35, 70,…, М«+1)(я + 2Нл + 3) _

Эти числа дают нам четвертый столбец арифметического тре­угольника.

— Советую еще обратить внимание, — добавил Тимофей Ири- нархович, — на выражение, которое в этой формуле у Васи стоит в знаменателе. Узнаете ли вы его? Мы ведь с ним встречались. Никто не вспомнит, когда это было?

— Кажется, — произнесла не совсем уверенно Наташа, — когда мы о Дразнилке говорили и рассчитывали, сколько там может быть разных комбинаций?

— Конечно! — поддержал ее Лева. — Да это факториал. Про­изведение чисел натурального ряда от единицы… в данном случае до четырех:

4! = 1-2-3-4 = 24.

— Факториал, — сказал руководитель Тускарийский, — растет очень быстро. Если сопоставить рост факториала с ростом степеней числа десять, то уже около степени, равной двадцати, факториал начнет обгонять ряд

Страница 25 of 30« First...1020...2526...30...Last »
Category: Разное