так ‘как и полос (или линий, как любят говорить шахматисты) у меня тоже я, то выходит, что на всей доске умещается…
— … ровно /г2, — подсказал Вася. — Несложно!
— Очень хорошо!—отвечал Лева. — Идем дальше. Начинаем второе суммирование тех же самых единиц. Мы складываем по прямым. Теперь—по гномонам. Ну-ка, Вася, что у нас тут получится?
— В углу, — отвечал Вася, — стоит единица; второй гномон — я считаю, спускаясь сверху вниз и поворачивая потом налево,— дает 2 + 1, третий дает 3 + 2 и так далее. Последний даст, очевидно:
+ (/г — 1) = 2/г — 1.
В общем, получаю:
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2 п — 1.
Этот случай мы как раз сегодня разбирали. Сумма…
— Стой, стой, не торопись! — закричал Лева. — Шашечница нам все сама сосчитает!.. Теперь мы приравниваем сумму по прямым сумме по гномонам и получаем: все это равно /г2. Вот вам еще раз тот же вывод, который давал сегодня Вася: сумма нечетных последовательных чисел равна квадрату общего количества нечетных чисел в данном отрезке ряда. Гномонов у нас/г, а значит, п слагаемых. Это просто для примера того, как шашечница может считать:
1 +3 +5 + 7+…+ 2л — 1 =
А теперь другой пример. На этот раз в каждой горизонтальной линии доски я пишу натуральный ряд с самого начала, то есть от единицы до п. Если вспомнить то самое правило, которое нам сообщил Вася, то есть правило суммирования арифметической прогрессии, то сумма каждой такой строки — линии — будет равна:
п-f-1 -2-Я.
Но если это так и по всей доске у меня п линий, следовательно, вся доска даст мне:
п -b I «4-1 2
—• п =—-—я3.
Теперь будем складывать то же самое по гномонам. Ну-ка, Наташа, помоги мне!
— Помочь? — произнесла Наташа. — Ах ты бедненький! Сам не можешь? Ну, уж так и быть… Рисую чертеж. В углу по-прежнему остается единица. Второй гномон — получается так: 2 + 2 и еще единица… я сверху начинаю считать, как Вася считал, потом влево по гномону. Третий гномон: 3 + 3 + 3 + 2+1. Значит, так получается: в вертикальной части гномона у нас стоит число, совпадающее с его номером: второй гномон — два, третий — три и так далее. Это число повторяется столько раз, сколько в нем единиц, следовательно. это число у нас будет в квадрате. А налево стоят числа от единицы до номера гномона без единицы. Записываю:
Только что-то уж очень длинно вышло.
— Запиши покороче, — посоветовал дедушка.
— Хорошо, — отвечала Наташа, поглядывая на свою запись.— У меня в скобках опять арифметическая прогрессия. По нашему правилу…
— По Васиному! — наставительно ввернул секретарь.
— …да, Васиному… получается вот что:
1 + (Л — 1) , 9. я — 1 п2—– -(п— 1) = /г2Н 2—
А если привести к одному знаменателю, получается так:
2«2 + л* _ п з 1 2 = 2Л”
— Превосходно! — решил Лева. — Больше
