Архимедово лето.Глава двенадцатая.

так ‘как и полос (или линий, как любят говорить шахматисты) у меня тоже я, то выходит, что на всей доске умещается…

— … ровно /г2, — подсказал Вася. — Несложно!

— Очень хорошо!—отвечал Лева. — Идем дальше. Начинаем второе суммирование тех же самых единиц. Мы складываем по прямым. Теперь—по гномонам. Ну-ка, Вася, что у нас тут полу­чится?

— В углу, — отвечал Вася, — стоит единица; второй гномон — я считаю, спускаясь сверху вниз и поворачивая потом налево,— дает 2 + 1, третий дает 3 + 2 и так далее. Последний даст, очевидно:

+ (/г — 1) = 2/г — 1.

В общем, получаю:

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2 п — 1.

Этот случай мы как раз сегодня разбирали. Сумма…

— Стой, стой, не торопись! — закричал Лева. — Шашечница нам все сама сосчитает!.. Теперь мы приравниваем сумму по прямым сумме по гномонам и получаем: все это равно /г2. Вот вам еще раз тот же вывод, который давал сегодня Вася: сумма нечетных после­довательных чисел равна квадрату общего количества нечетных чисел в данном отрезке ряда. Гномонов у нас/г, а значит, п слагаемых. Это просто для примера того, как шашечница может считать:

1 +3 +5 + 7+…+ 2л — 1 =

А теперь другой пример. На этот раз в каждой горизонтальной линии доски я пишу натуральный ряд с самого начала, то есть от единицы до п. Если вспомнить то самое правило, которое нам сооб­щил Вася, то есть правило суммирования арифметической прогрессии, то сумма каждой такой строки — линии — будет равна:

п-f-1 -2-Я.

Но если это так и по всей доске у меня п линий, следовательно, вся доска даст мне:

п -b I «4-1 2

—• п =—-—я3.

Теперь будем складывать то же самое по гномонам. Ну-ка, Наташа, помоги мне!

— Помочь? — произнесла Наташа. — Ах ты бедненький! Сам не можешь? Ну, уж так и быть… Рисую чертеж. В углу по-прежнему остается единица. Второй гномон — получается так: 2 + 2 и еще единица… я сверху начинаю считать, как Вася считал, потом влево по гномону. Третий гномон: 3 + 3 + 3 + 2+1. Значит, так полу­чается: в вертикальной части гномона у нас стоит число, совпадаю­щее с его номером: второй гномон — два, третий — три и так далее. Это число повторяется столько раз, сколько в нем единиц, следова­тельно. это число у нас будет в квадрате. А налево стоят числа от единицы до номера гномона без единицы. Записываю:

я*+(1+2 + 3 + …+я-1).

Только что-то уж очень длинно вышло.

— Запиши покороче, — посоветовал дедушка.

— Хорошо, — отвечала Наташа, поглядывая на свою запись.— У меня в скобках опять арифметическая прогрессия. По нашему правилу…

— По Васиному! — наставительно ввернул секретарь.

— …да, Васиному… получается вот что:

1 + (Л — 1) , 9. я — 1 п2—– -(п— 1) = /г2Н 2—

А если привести к одному знаменателю, получается так:

2«2 + л* _ п з 1 2 = 2Л

— Превосходно! — решил Лева. — Больше

Страница 24 of 30« First...1020...2425...30...Last »
Category: Разное