Архимедово лето.Глава двенадцатая.

вы видите, получается натуральный ряд:

1,2, 3, 4,…

и так далее. Попробуем дать k значение два:

1; 1+2; 1 + 2-2; 1 + 3-2; 1+4-2;…

или:

1, 3, 5, 7, 9,…,

то есть ряд нечетных чисел Если положить k равным трем, а затем почленно суммировать получившийся ряд, придем к только что выве­денным нами пятиугольным числам.

— Пятиугольным… — старательно повторил громким шепотом ученый секретарь, возясь со своей драгоценной тетрадкой.

— Итак, — продолжал докладчик,— числа прогрессий, из которых путем последовательного суммирования членов мы получаем все наши фигурные числа, называются линейными. Из всех фигурных чисел линейные — самые простые. Обозначим наши фигурные числа про­писной буквой F, у которой снизу и сверху будем писать маленькие указатели — индексы. Верхний индекс будет обозначать порядок фи­гурного числа, нижний — его степень. Порядком фигурного числа называется число, указывающее, сколько раз суммировались один за другим ряды. Ряд линейных чисел (начальную прогрессию) считаем первого порядка. Степенью же фигурного числа будем называть зна­чение коэффициента k при (п— 1) в общем члене прогрессии. Значит, числами первого порядка и первой степени у нас будут:

F=l, 2, 3, 4, 5,…

Числа второго порядка, или плоские числа, получаются от суммиро­вания соответствующих чисел первого порядка. Например, треуголь­ные числа F1 получаются от суммирования чисел F[:

F= I, 2, 3, 4, 5,... /1 = 1, 3,6, 10, 15,...

? I

Квадратные числа fч получаются от суммирования чисел ряда г у*

1,3. 5. 7. 9.... П= 1,4,9, 16,25,...

2 2

Таким же образом получаются пятиугольные Fз, шестиугольные F4 и так далее — все плоские числа. Если указаны порядок и степень, мы получаем ряд чисел, например:

^3=1,4, 7, 10, 13,..,

А для того чтобы указать какое-то одно определенное фигурное число, в этом ряду надо указать не только порядок и степень, но еще и но­мер его в ряду (третий индекс, который пишется в скобках, рядом с нижним). Тогда получается, что

F_{2) = 2; /4(3) = 5; = 10 и так далее.

Если указаны порядок и степень, получаем целый ряд чисел. Если же указан только порядок, мы получаем k рядов чисел, каждый из кото­рых начинается с прогрессии, имеющей разностью число k. Суммиро­вание линейных чисел дает плоские числа, общая формула которых будет:

Fl= 1; 2 +ft; 3 + 3ft; 4 + 6ft; 5 + 10ft;..[2 + ft (я - 1)].

Эти плоские числа и есть многоугольные числа, а число углов в них равно всегда (2 + k) — это второй член ряда.

— Так, — сказал Лева, — немножко длинно, но, пожалуй, иначе и нельзя, если уж все рассказывать по порядку. Ну, а что же будет, если я начну теперь последовательно суммировать и эти многоуголь­ные числа?

— Тогда мы получим еще новые фигурные числа, которые назы­ваются уже объемными или телесными фигурными чис­лами третьего