вы видите, получается натуральный ряд:
и так далее. Попробуем дать k значение два:
1; 1+2; 1 + 2-2; 1 + 3-2; 1+4-2;…
или:
то есть ряд нечетных чисел Если положить k равным трем, а затем почленно суммировать получившийся ряд, придем к только что выведенным нами пятиугольным числам.
— Пятиугольным… — старательно повторил громким шепотом ученый секретарь, возясь со своей драгоценной тетрадкой.
— Итак, — продолжал докладчик,— числа прогрессий, из которых путем последовательного суммирования членов мы получаем все наши фигурные числа, называются линейными. Из всех фигурных чисел линейные — самые простые. Обозначим наши фигурные числа прописной буквой F, у которой снизу и сверху будем писать маленькие указатели — индексы. Верхний индекс будет обозначать порядок фигурного числа, нижний — его степень. Порядком фигурного числа называется число, указывающее, сколько раз суммировались один за другим ряды. Ряд линейных чисел (начальную прогрессию) считаем первого порядка. Степенью же фигурного числа будем называть значение коэффициента k при (п— 1) в общем члене прогрессии. Значит, числами первого порядка и первой степени у нас будут:
Числа второго порядка, или плоские числа, получаются от суммирования соответствующих чисел первого порядка. Например, треугольные числа F1 получаются от суммирования чисел F[:
F= I, 2, 3, 4, 5,... /1 = 1, 3,6, 10, 15,...
? I
Квадратные числа fч получаются от суммирования чисел ряда г у*
1,3. 5. 7. 9.... П= 1,4,9, 16,25,...
2 2
Таким же образом получаются пятиугольные Fз, шестиугольные F4 и так далее — все плоские числа. Если указаны порядок и степень, мы получаем ряд чисел, например:
^3=1,4, 7, 10, 13,..,
А для того чтобы указать какое-то одно определенное фигурное число, в этом ряду надо указать не только порядок и степень, но еще и номер его в ряду (третий индекс, который пишется в скобках, рядом с нижним). Тогда получается, что
F{2) = 2; /4(3) = 5; = 10 и так далее.
Если указаны порядок и степень, получаем целый ряд чисел. Если же указан только порядок, мы получаем k рядов чисел, каждый из которых начинается с прогрессии, имеющей разностью число k. Суммирование линейных чисел дает плоские числа, общая формула которых будет:
Fl= 1; 2 +ft; 3 + 3ft; 4 + 6ft; 5 + 10ft;..[2 + ft (я - 1)].
Эти плоские числа и есть многоугольные числа, а число углов в них равно всегда (2 + k) — это второй член ряда.
— Так, — сказал Лева, — немножко длинно, но, пожалуй, иначе и нельзя, если уж все рассказывать по порядку. Ну, а что же будет, если я начну теперь последовательно суммировать и эти многоугольные числа?
— Тогда мы получим еще новые фигурные числа, которые называются уже объемными или телесными фигурными числами третьего
