Архимедово лето.Глава двенадцатая.

Пользуясь нашей формулой, мы получим:

с 1 + 2п — 1 о

5=—————– п = п2.

— Позволь мне, Васенька, — вмешался дедушка, — еше одно при- мечаньице сделать. Ты, конечно, совершенно прав в том, что начет­ная сумма (получаемая от последовательного суммирования) ряда нечетных чисел дает нам квадраты. И верно, что это еще во времена седой древности было известно. Но вот какое замечательное открытие сделано было совсем недавно, несколько лет тому назад, через много тысяч лет после Вавилона: оказалось, что это правило — просто част­ный случай одного гораздо более общего правила, касающегося полу­чения из натурального ряда ряда любых натуральных степеней. Ког­да ты получаешь из нечетных чисел квадраты, ты 1) вычеркиваешь из натурального ряда все вторые числа и 2) суммируешь оставшиеся в начетную сумму. Оказывается, можно пойти и дальше! Если ты 1) вычеркнешь из натурального ряда все третьи числа, 2) образуешь из оставшихся начетный ряд, 3) вычеркнешь из этого нового ряда все вторые числа, 4) из оставшихся образуешь начетный ряд — ты получишь ряд натуральных кубов. Если ты 1) вычеркнешь из нату­рального ряда все четвертые числа, 2) образуешь из оставшихся на­четный ряд, 3) вычеркнешь из полученного ряда все третьи числа, 4) образуешь снова начетный ряд, 5) вычеркнешь из него все вторые числа, 6) снова получишь начетный ряд, — то в результате ты при­дешь к ряду натуральных четвертых степеней и так далее, все время от степени к степени увеличивая число ступеней преобразования на две. Мы видим, как при помощи очень простого правила образуются довольно сложные построения.

— Ишь ты, как оно стройно получается! — заметил докладчик Вася. — По моему, Вова, тебе бы стоило все это записать: интересно!

Продолжаю: возьмем еще арифметическую прогрессию, у которой общий член отличается от предыдущего (2п—1) тем, что оба его крайних числа на единицу больше, то есть он будет не (2п—1), а (Ъп— 2). Тогда получим:

1,4, 7, 10, 13…….. (Ъп — 2).

Если этот новый ряд мы будем почленно суммировать, то получим:

1, 5, 12, 22, 35v_____ 1)].

Мы получим пятиугольные числа (средний чертеж на стр. 290). Если взять арифметическую прогрессию с общим членом (4я—3), то путем почленного суммирования получим шестиугольные числа (нижний чертеж на стр. 290). Совершенно тем же порядком, увеличивая на единицу крайние числа нашей формулы и суммируя их, можно получить семиугольные и так далее числа. Для наших арифметических прогрессий, из которых мы получали многоугольные числа, можно вывести общую формулу. Вот она какая:

1; l+k; l+2k; 1+3&;… Общая формула k-то числа, которую легко вывести, будет:

1 +k(n— 1).

Если дать k значение нуль, получим тот самый ряд сплошных еди­ниц, с которого мы и начали. Дадим k значение единицы:

1; 1 + 1; 1+2-1; 1+ЗЛ; 1+4-1;..,

Как

Страница 17 of 30« First...10...1718...2030...Last »
Category: Разное