приведенным Васей делителям, которые составляют
11111 ^
Т’ Т’ У’ 14 и 28 часть этого египетского локтя. Правда, вероятно на
практике употреблялись деления по степеням двух, то есть половина, четверть, восьмушка, а далее этого обычно и не приходилось идти.. – Ну, Вася, продолжай!
— Продолжаю! — отвечал докладчик. — Несмотря на то, что древним были известны всего лишь четыре таких числа, они очень ими заинтересовались. Древнегреческие ученые попробовали определить, каковы эти числа вообще. Раньше всего заметили, что все эти числа четные. И возник вопрос: не связано ли это обстоятельство с самой, так сказать, природой этих чисел? Начали внимательно рассматривать разложения этих чисел на делители. Давайте и мы с вами посмотрим. Возьмем одно из этих чисел, скажем, двадцать восемь. Мы его записывали так:
1+2 + 4 + 7+14 = 28.
Сперва идут степени двух…
— Придется опять прервать тебя, Вася, на минуточку, — сказал дед. — Нужно сперва указать, что единицу мы тоже можем считать степенью двух…
— Да, да! — спохватился Вася.—Сейчас скажу. Вот как. Если делить число в какой-нибудь степени на то же самое число в другой степени, то степени вычитаются. Это легко проверить. Возьмем двойку в пятой степени, будет тридцать два; разделим это число на двойку во второй степени — на четыре, получим восемь, которое есть двойка в третьей степени:
25:22 = 23 = 25-2.
А если разделить число в некоторой степени на то же самое число в той же самой степени, получим, с одной стороны, при помощи деления, единицу, с другой, при помощи вычитания степеней, это число в нулевой степени:
1 _ 8 _ 23_93-3 — 90 8 23 — Z ‘
Значит, всегда можно рассматривать единицу как любое число в нулевой степени. Итак, у нас, в нашем разложении числа двадцать восемь, сперва идут степени двойки: нулевая, первая и вторая. А затем идет число семь, и оно же умноженное на два. Можно так записать:
1+2 + 4 + 7 (1 + 2) = 28.
В скобках повторяется тот же самый ряд, который шел сперва, только он на один член короче, а перед ним стоит множитель семь, который, заметьте, равен сумме первых трех делителей. Возьмем теперь третье совершенное число и изобразим его так же:
1+2 + 4 + 8+16 + 31- (1 + 2 + 4 + 
=496.
Как видите, получается очень похоже на разложение числа двадцать восемь. Сперва идут одна за другой степени двойки, затем число тридцать один, которое так же, как это было и в первом нашем примере, равняется сумме первых (пяти) членов ряда. Теперь надо сказать несколько слов о том, как получить сразу сумму нескольких возрастающих одна за другой степеней двойки. Если взять два первых члена такого ряда, то будет:
1+2 = 3,
а три есть четыре без единицы. И поэтому:
1 +3 = 4— 1,
или
2° + 2l = 22— L
И дальше:
1+2 + 4 = 2° + 21+22 = 7 = 8 — 1 =23