Архимедово лето. Глава девятая.

приведенным Васей делителям, которые составляют

11111 ^

Т’ Т’ У’ 14 ^и 28 часть этого египетского локтя. Правда, вероятно на

практике употреблялись деления по степеням двух, то есть половина, четверть, восьмушка, а далее этого обычно и не приходилось идти.. – Ну, Вася, продолжай!

— Продолжаю! — отвечал докладчик. — Несмотря на то, что древним были известны всего лишь четыре таких числа, они очень ими заинтересовались. Древнегреческие ученые попробовали опре­делить, каковы эти числа вообще. Раньше всего заметили, что все эти числа четные. И возник вопрос: не связано ли это обстоятельство с самой, так сказать, природой этих чисел? Начали внимательно рас­сматривать разложения этих чисел на делители. Давайте и мы с вами посмотрим. Возьмем одно из этих чисел, скажем, двадцать восемь. Мы его записывали так:

1+2 + 4 + 7+14 = 28.

Сперва идут степени двух…

— Придется опять прервать тебя, Вася, на минуточку, — сказал дед. — Нужно сперва указать, что единицу мы тоже можем считать степенью двух…

— Да, да! — спохватился Вася.—Сейчас скажу. Вот как. Если делить число в какой-нибудь степени на то же самое число в другой степени, то степени вычитаются. Это легко проверить. Возьмем двойку в пятой степени, будет тридцать два; разделим это число на двойку во второй степени — на четыре, получим восемь, которое есть двойка в третьей степени:

2⁵:2² = 2³ = 2^5-2.

А если разделить число в некоторой степени на то же самое число в той же самой степени, получим, с одной стороны, при помощи деле­ния, единицу, с другой, при помощи вычитания степеней, это число в нулевой степени:

1 _ ⁸ _ 2³_9³-³ — 90 8 2^{3 — Z} ‘

Значит, всегда можно рассматривать единицу как любое число в ну­левой степени. Итак, у нас, в нашем разложении числа двадцать во­семь, сперва идут степени двойки: нулевая, первая и вторая. А затем идет число семь, и оно же умноженное на два. Можно так записать:

1+2 + 4 + 7 (1 + 2) = 28.

В скобках повторяется тот же самый ряд, который шел сперва, толь­ко он на один член короче, а перед ним стоит множитель семь, кото­рый, заметьте, равен сумме первых трех делителей. Возьмем теперь третье совершенное число и изобразим его так же:

1+2 + 4 + 8+16 + 31- (1 + 2 + 4 + =496.

Как видите, получается очень похоже на разложение числа двадцать восемь. Сперва идут одна за другой степени двойки, затем число три­дцать один, которое так же, как это было и в первом нашем примере, равняется сумме первых (пяти) членов ряда. Теперь надо сказать несколько слов о том, как получить сразу сумму нескольких воз­растающих одна за другой степеней двойки. Если взять два первых члена такого ряда, то будет:

1+2 = 3,

а три есть четыре без единицы. И поэтому:

1 +3 = 4— 1,

или

2° + 2^l = 2²— L

И дальше:

1+2 + 4 = 2° + 2¹+2² = 7 = 8 — 1 =2³