она и была. Тогда нам нахл. доказать справедливость следующего выражения:
1 +(1 + 2 + 4+ . . . +2Л~1) = 2″. Рассмотрим такие равенства, очевидно справедливые:
1 + 1= 2 1 + 1+2= 4 1 + 1+2 + 4= 8 1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16
и так далее. Каждый раз мы к предыдущему равенству прибавляем сумму членов его левой части; можем это делать до любой степени двойки — и все время будем получать справедливые равенства. Это явствует из того, что, как мы уже видели,
2 + 2 = 2-2,
и стоит только умножить обе стороны этого равенства на 2Л_2 , как мы получим общую формулу, разъясняющую всё:
Если я, например, возьму четвертое из приведенных только что численных равенств
(1 + 1 + 2 + 4) + 8= 16,
то сумма чисел в скобках равна восьми, откуда ясно, что это как раз случай, подходящий под нашу общую формулу:
2п -1 + 2п ~1 = 2я. Значит, равенство, с которого мы начали наше рассуждение, справедливо. Именно этим доказательством и пользовались древние математики. Скажу вам еще, что теория совершенных чисел в древности имела немалое значение, потому что именно изучение этой теории и привело древних ученых к задаче — как просуммировать ряд, состоящий из возрастающих степеней двойки? Когда этот вопрос был решен, открылась возможность перейти к другой, более сложной задаче. Этой задачей было — вывести общее правило для суммирования ряда возрастающих степеней не только двойки, но и любого другого числа. Нам еще не раз придется видеть немало примеров того, какое это могучее математическое средство — суммирование рядов! Обратите еще внимание на то, какое значение имеют в нашем вопросе простые числа. Числа эти изучали еще в древности, а замечательные достижения в этой области связаны с именем одного из крупнейших русских математиков, Пафнутия Львовича Чебышёва (середина прошлого века). Простые числа — одна из интереснейших проблем высшей арифметики, или теории чисел. Надобно еще заметить, что деление египетского локтя на двадцать восемь пальцев у египтян было связано с различными трудностями по суммированию дробей; в древности употреблялись главным образом дроби с числителем, равным единице. Мы и сейчас еще очень часто употребляем такие дроби в обиходе: всякий из вас слыхал, как хозяйка говорит, что она в магазине «взяла два полкило сахара», в данном случае «полкило» и есть дробь с числителем, равным единице, иногда говорят также «четверка», «четвертинка» в смысле «четверть» либо «одна четвертая».
— Имейте в виду, — продолжал дед, — счет придуман не для забавы,— это одно из средств общения людей друг с другом в их коллективном существовании, средство, которое служит помощью в коллективной работе, а следовательно, счет и меры должны быть просты,
