Архимедово лето. Глава девятая.

есть сумме всех делителей, исключая самое это число. А мы с тобой сейчас вклю­чили в число делителей и самое наше число. Но если сумма делителей равна совершенному числу и к этой сумме прибавлено еще и самое совершенное число, то ясно, что в таком случае сумма делителей бу­дет равняться удвоенному совершенному числу. Поэтому можем на­писать:

(2^{,, + 1}- 1)Л = 2Р.

Ты с этим согласен или нет?

— Согласен, — отвечал сильно нахмурившийся Лева, старательно следя за рассуждениями деда.

— Однако, — продолжал дедушка, — у нас положено, что

Р = 2^па_у

а следовательно, мы вправе написать и так:

(2″ ^{+ 1}-1)Л =2 • 2^п а,

или

Откроем скобки:

2^я+ ¹- А — A=2^{n + l} а. Возьмем 2^{л + 1}за скобку:

2 ^{п + 1}(А-а) = А.

Отнимем теперь от правой части равенства, а потом прибавим к ней одну и ту же величину я…

— Таким образом, ты прибавляешь к правой части круглый нуль!—удивился Лева. — Это, конечно, можно сделать, ничто не изменится, но только зачем это? Какой смысл?

— Сейчас увидишь зачем, — отвечал дедушка. — Это один из спо­собов алгебраических преобразований и нередко весьма полезный способ. Итак, получаем:

2 ^{п + 1}(А-а)=А-а+ а,

затем я беру (А — а) за скобку:

(2^{rt + 1}—1) . (А—а) =а.

Ну, а теперь давай рассмотрим, что у нас в конце концов получилось. Если мы перенесем (А — а) в правую часть делителем, то получим выражение:

+ !__ 1__ ^а /**ч

^z А-а* ^{{ }}

которое является доказательством того, что при всех значениях а и А величина а делится на сумму своих делителей (А —а) без остатка, ибо (2″ ^{+ 1}—1) есть несомненно целое число. Однако таким дели­телем может быть только единица — ведь только при делении на еди­ницу любое нечетное число может давать целое число; следовательно,

(А — а) = 1,

Но тогда

А — 1 = а,

то есть а и является своим единственным делителем (кроме единицы). Но если это так, ю а есть действительно простое число! Вот тебе и доказательство. То самое, которое Эйлер дал утверждению Ямвлиха. А поскольку, как мы уже выяснили,

А — а= 1,

этот же самый вывод дает, сверх того, еще и указания на форму этого простого, как только что было доказано, числа а, потому что наше последнее равенство (помеченное двумя звездочками в скобках спра­ва), если мы в нем заменим (А — а) единицей, обратится вот во что:

2^Л + ¹ — 1 = а,

и, таким образом, устанавливается, что число а должно иметь совер­шенно определенную, известную нам уже форму.

— Дедушка Тимоша, — спросила Наташа, — а как доказать спра­ведливость Васиной формулы? Ведь он ее выводил только на при­мерах.

— Можно и это доказать, — отвечал Тускарийский почетный и заслуженный руководитель, — это не так уж трудно. Мы не будем переносить единицу в правую сторону, как это мы делали (на стр. 179), а оставим ее слева, где