есть сумме всех делителей, исключая самое это число. А мы с тобой сейчас включили в число делителей и самое наше число. Но если сумма делителей равна совершенному числу и к этой сумме прибавлено еще и самое совершенное число, то ясно, что в таком случае сумма делителей будет равняться удвоенному совершенному числу. Поэтому можем написать:
(2,, + 1- 1)Л = 2Р.
Ты с этим согласен или нет?
— Согласен, — отвечал сильно нахмурившийся Лева, старательно следя за рассуждениями деда.
— Однако, — продолжал дедушка, — у нас положено, что
Р = 2пау
а следовательно, мы вправе написать и так:
(2″ + 1-1)Л =2 • 2п а,
или
Откроем скобки:
2я+ 1- А — A=2n + l а. Возьмем 2л + 1за скобку:
2 п + 1(А-а) = А.
Отнимем теперь от правой части равенства, а потом прибавим к ней одну и ту же величину я…
— Таким образом, ты прибавляешь к правой части круглый нуль!—удивился Лева. — Это, конечно, можно сделать, ничто не изменится, но только зачем это? Какой смысл?
— Сейчас увидишь зачем, — отвечал дедушка. — Это один из способов алгебраических преобразований и нередко весьма полезный способ. Итак, получаем:
2 п + 1(А-а)=А-а+ а,
затем я беру (А — а) за скобку:
(2rt + 1—1) . (А—а) =а.
Ну, а теперь давай рассмотрим, что у нас в конце концов получилось. Если мы перенесем (А — а) в правую часть делителем, то получим выражение:
+ !__ 1__ а /**ч
z А-а* { }
которое является доказательством того, что при всех значениях а и А величина а делится на сумму своих делителей (А —а) без остатка, ибо (2″ + 1—1) есть несомненно целое число. Однако таким делителем может быть только единица — ведь только при делении на единицу любое нечетное число может давать целое число; следовательно,
(А — а) = 1,
Но тогда
А — 1 = а,
то есть а и является своим единственным делителем (кроме единицы). Но если это так, ю а есть действительно простое число! Вот тебе и доказательство. То самое, которое Эйлер дал утверждению Ямвлиха. А поскольку, как мы уже выяснили,
А — а= 1,
этот же самый вывод дает, сверх того, еще и указания на форму этого простого, как только что было доказано, числа а, потому что наше последнее равенство (помеченное двумя звездочками в скобках справа), если мы в нем заменим (А — а) единицей, обратится вот во что:
2Л + 1 — 1 = а,
и, таким образом, устанавливается, что число а должно иметь совершенно определенную, известную нам уже форму.
— Дедушка Тимоша, — спросила Наташа, — а как доказать справедливость Васиной формулы? Ведь он ее выводил только на примерах.
— Можно и это доказать, — отвечал Тускарийский почетный и заслуженный руководитель, — это не так уж трудно. Мы не будем переносить единицу в правую сторону, как это мы делали (на стр. 179), а оставим ее слева, где