Архимедово лето. Глава девятая.

сказала:

— А мы тут с Вовушкой под шумок Дразнилкой займемся, пока дедушка Тимоша будет Леву на ум наставлять!.. Вот, не хочешь ли, Вова, посмот­реть— у меня есть очень интересная позиция, кото­рая называется «нечетн о-ч етиая спираль». Она у меня в двух видах, и оба первого круга. Вот они:

— Ишь, какие хорошие! — отвечал Вова, доставая из кармана коробочку с шашками. — Сперва идут нечетные…

— Ну, дедушка, — сказал Лева, — ты хоть намекни, как это там получается.

— Видишь ли… —начал дедушка, находясь, видимо, в некотором затруднении. — Ну ладно! Так и быть, давай попробуем. Смотри хо­рошенько, не зевай! Мы с тобой только что рассматривали сумму делителей числа 2¹¹р. А ведь из этого легко вывести, что если нам даны два числа и суммы их делителей, то сумма всех делителей произведения этих чисел будет равна произведению двух сумм дели­телей.

— Два числа? — повторил Лева. — Потом берем их произведение. И, зная суммы всех делителей двух данных чисел, хотим найти сумму делителей этого произведения. Так?

— Правильно.

— Мммм… — замычал Лева. — Кажется… Впрочем, давай-ка я проверю! Возьму два простых числа, ну хоть три и пять, и суммы их делителей: (1 + 3) и (1 + 5). Произведение этих чисел 5-3 = 15. Сумма его делителей равна (1 + 3 + 5+15). Теперь я беру суммы делителей моих множителей, то есть тройки и пятерки, и перемножаю их почленно:

(1 + 3) . (1+5) = (1+3 + 54-15).

Все в точности получается! Правильно. Согласен.

— Хорошо, — отвечал руководитель тускарийцев. — Теперь мы с тобой положим, что наше совершенное четное число будет таково:

Р=2^па,

где а — любое нечетное составное число. Поскольку оно составное, то мы вправе рассуждать так: очевидно, сумма его делителей больше, чем (1 + а). Не так ли?

— По-видимому, так, — согласился Лева. — На этот раз ты, как я и сам делал при перемножении, включаешь в сумму делителей и то самое число, о котором идет речь?

— Да, включаю.

— Тогда ясно, что сумма делителей составного числа больше, чем (1 + а), по той простой причине, что такая сумма делителей может принадлежать только простому числу.

— Так! — подтвердил президент Тускарийской любознательной академии. — Итак, эта сумма больше, чем (1 + а). Назовем ее А. За­пишем, что Л> 1 + а. Далее: сумма делителей числа 2^п равна, как мы уже вывели ранее, числу (2^{/i + 1}—1). Значит, сумма делителей нашего совершенного числа Р будет равна произведению:

(2^{Л + 1}-1) Л.

Теперь я должен тебе напомнить, что совершенным числом называется число, равное сумме всех своих собственных делителей, то