Архимедово лето. Глава девятая.

как правильно указал Вася, сумма ее степеней очень просто выражается. Возьмем некото­рую сумму степенен двойки; допустим при этом, что мы имеем воз­можность выбрать такую именно сумму, которая равна некоторому простому числу; обозначим его буквой р. Тогда я утверждаю, что возможно построить четное совершенное число

где р равняется

1+2 + 4 + … + 2- =р.

А теперь разберем, какие делители будут у нашего числа. Во-первых, поскольку в него входит степень двойки, то его делителями будут все степени двойки вплоть до той, которая равняется п. Во-вторых, дели­телем будет, конечно, простое число р, а также все его кратные, кото­рые мы получаем, умножая р на ряд всех степеней двойки. Значит, у нас будут такие делители:

1, 2, 22, … ,2я-1, 2″, р, 2р, Яр, . . . , 2 — V-

Ясно, что никаких других делителей у нашего совершенного числа нет и быть не может. Попробуем теперь доказать, что сумма этих делителей действительно равняется нашему совершенному числу:

1+2 + 4 + … + 2» + р+2р + 2*р + … + 2л-,р = 2″р. (*)

У нас уже раньше было положено, что

1 +2 + 4… + 2″ = р, следовательно, мы можем написать наше число так:

р + р(1+2 + 4 + … + 2″-1) = 2 “р.

или так:

р[1 + (1+2 + 4 + ... + 2"-1)] = 2*р,

а теперь сокращаем обе части нашего равенства на р и получаем:

1 + (1+2 + 4+… + 2″-1) =2».

Если это равенство справедливо, тогда справедливо и то равенство, с которого мы начали, — я его обозначил звездочкой в скобках спра­ва. Но последнее равенство можно и так записать:

1 + 2 + 4 + … + 2″ ~1 = 2′1 — 1,

Теперь мы получили то самое равенство, которое дает сумму степеней двойки и которое нам приводил Вася. Следовательно, мы действи­тельно получили совершенное число, откуда ясно, что наши предполо­жения были вполне основательны.

— Послушай, дедушка! — снова заговорил Лева. — Но почему ты сразу пишешь, что вторым множителем в твоем — тебе еще неизвест­ном! — совершенном числе Р будет простое число? Откуда ты это знаешь?

— У Эйлера, — отвечал дед, — этот вопрос был проанализирован, разобран. Он начинает с предположения, что второй множитель про­сто будет нечетным числом.

— А он очень трудный, этот вывод Эйлера? — осторожно вымолвил Лева.

— Да нет, — отвечал дедушка Тимоша, — не особенно трудный, но требует некоторых предвари­тельных объяснений, а потом… конечно, и внима­ния, потому что вывод это довольно длинный. Сам понимаешь: недоступного ничего нет для тебя, но… Вовушка, наш секретарь, как бы не завял от скуки!

Вовка поглядел на деда пронзительно. Наташа улыбнулась ему и

Страница 17 of 23« First...10...1718...20...Last »
Category: Разное