Архимедово лето. Глава девятая.

не знали ни единого примера? Ясное дело, мы должны их так составлять, чтобы неожиданных лишних делителей у нас не появ­лялось, а для этого, очевидно, нам надо начать с простых чисел, избегая составных. Простые числа не разлагаются на множители. В арифметике они являются как бы основными элементами, из кото­рых и образуются все остальные целые числа. Но само по себе про­стое число совершенным быть не может, так как у него только два делителя, оно само и единица, а следовательно, все простые числа будут не совершенными, а недостаточными, потому что, с точки зре­ния теории совершенных чисел, у простого числа есть единственный делитель — единица. Ведь само число при рассмотрении совершенных в число делителей не включается. Из рассмотрения разности квадра­тов или кубов, как уж нам показывал Вася, ясно, что ни квадрат, ни куб простого числа тоже не могут быть совершенными…

— Почему? — удивленно спросил Лева.

— Нет, это ясно, — отвечал ему Ника. — Сейчас, дедушка, я ему покажу. Напишем равенство с разложением куба разности:

_(р0_+р1_+р2₎ . (р-1) = (р»-1).

Смотри внимательно! Первая скобка представляет собой сумму дели­телей куба простого числа. Так или нет?

— Так! — подтвердила Веточка.

— Но если это так, — продолжал Ника, — я могу переписать это мое равенство вот каким образом:

А из этого уже ясно, что сама сумма делителей куба простого числа значительно меньше, нежели куб без единицы. Чтобы приравнять сумму делителей к этому кубу без единицы, надо эту разность разде­лить еще на (р— 1). Следовательно, куб простого числа и подавно больше сумм своих делителей — значит, куб простого числа есть число недостаточное.

— Правильно! — подтвердил Вася. — Да и с остальными степе­нями то же самое получится. Попробуй разделить (р⁴ — 1) или (р⁵ — 1) на {р— 1) — и увидишь!

— Следовательно, — отозвался дедушка, — надо начинать с чего- то другого.

— Хоть бы пример привели… — глядя в сторону, пробурчал Вовка.

— Получай пример! — отвечал Ника. — Возьмем число двадцать семь. Какие у него делители? Единица, три и девять. В сумме выходит тринадцать. Посмотри по нашей формуле:

1 +3 + 9= (27 — 1) : (3 — 1) =26:2.

Вот и выходит, что степень простого числа — в нашем примере это три в кубе — не может иметь никаких делителей, кроме единицы и сте­пеней самого себя — первой и второй, то есть три и девять Следова­тельно, три в кубе есть число недостаточное. Так и со всяким кубом будет. Понял?

— Так бы сразу и сказал! — отвечал вполне удовлетворенный уче­ный секретарь Тускарийских ассамблей, усердно переписывая пример в тетрадку.

6.

— Итак, — продолжал дедушка Тимофей Иринархович, — мы с р.ами начнем с самого простого — с суммы степеней двойки, которая для наших целей особенно удобна тем, что,