Архимедово лето. Глава девятая.

первых степеней и неполный квадрат суммы:

X⁸ —1 = (*» + *+1) {х—1).

А теперь я положу, что

х = 2^а.

Подставляю это значение икса в эту хорошо известную всем нам формулу. Тогда

2^3а — 1 = (2^2а + 2^а + 1) (2^а— 1).

А отсюда ясно, что выражение с составной степенью раскладывается на два множителя. Проверим! Вычислим, что будет, если взять два в девятой степени:

2⁹ — 1 = (2³)³ – 1 = [(2³)² + 2³ + 1] (2³ – 1) = = (64 + 8+ 1) • (8 — 1) = 73 – 7.

Понятно?

Дедушка молча кивнул ему головой, и наш Никита просиял. Лева тоже порадовался сметке своего закадычного друга и крик­нул ему:

— Понятно, Кожемяка, понятно! Ну, а если бы ты не куб взял? Ведь то же самое получится, правда?

— Верно! — сказал Вася. — Ну конечно, то же самое получится. Экая досада — я не догадался!.. Ну, так я, значит, буду дальше рас­сказывать.

— Просим, — отвечал Ника.

— Дальше так: пробовать подставлять в нашу формулу л = 7 нет смысла, как ясно из только что сказанного, ибо

7+1=8

не простое число. Подставлять восемь опять нельзя, потому что

8+1=9

снова не простое число. А если уж попробовать, то получается число

130 816 = 256.511.

Но ведь мы с вами заметили, что пятьсот одиннадцать не простое число. Дальше,

9 + 1 = 10

тоже не годится. Но отсюда уже начинаются серьезные трудности, Хотя мы и выяснили, что выражение (л+1) необходимо должно быть простым числом, но мы не знаем еще: достаточно ли этого усло­вия, чтобы выражение 2^rt+1 —1 было простым числом? И вот при п = 10 мы убеждаемся, что этого еще недостаточно! Ибо

2¹¹ — 1=2047,

но, к сожалению, это число не простое и равно произведению 23 • 89. Значит, строить новые совершенные числа по образцу первых четы­рех не так легко, как кажется с первого взгляда.

— Вот видите,— прибавил Тимофей Иринархович, вынув изо рта свою удивительную трубку, где не отрываясь смотрели друг на друга шах и его мудрец, — вот вы и учитесь, как осторожно надо относиться ко всяким сходствам, или аналогиям. Сперва кажется, все идет так гладко и просто, а потом — хвать! — и все уж пошло по- другому. Правда, случай с совершенными числами — это случай особый, один из тех, какие нередко встречаются в высшей арифметике (теории чисел): на вид задача как будто бы и несложная, известна с незапамятных времен, а решения до сих пор никак не добьются. И задача-то не такая уж важная, а вот все еще не удалось выяснить, для каких значений простого числа р выражение 2^Р — 1 будет простым числом, а для каких — составным. А отсюда и еще одно затруднение — нельзя ответить на