первых степеней и неполный квадрат суммы:
А теперь я положу, что
Подставляю это значение икса в эту хорошо известную всем нам формулу. Тогда
23а — 1 = (22а + 2а + 1) (2а— 1).
А отсюда ясно, что выражение с составной степенью раскладывается на два множителя. Проверим! Вычислим, что будет, если взять два в девятой степени:
29 — 1 = (23)3 – 1 = [(23)2 + 23 + 1] (23 – 1) = = (64 + 8+ 1) • (8 — 1) = 73 – 7.
Понятно?
Дедушка молча кивнул ему головой, и наш Никита просиял. Лева тоже порадовался сметке своего закадычного друга и крикнул ему:
— Понятно, Кожемяка, понятно! Ну, а если бы ты не куб взял? Ведь то же самое получится, правда?
— Верно! — сказал Вася. — Ну конечно, то же самое получится. Экая досада — я не догадался!.. Ну, так я, значит, буду дальше рассказывать.
— Просим, — отвечал Ника.
— Дальше так: пробовать подставлять в нашу формулу л = 7 нет смысла, как ясно из только что сказанного, ибо
7+1=8
не простое число. Подставлять восемь опять нельзя, потому что
8+1=9
снова не простое число. А если уж попробовать, то получается число
130 816 = 256.511.
Но ведь мы с вами заметили, что пятьсот одиннадцать не простое число. Дальше,
9 + 1 = 10
тоже не годится. Но отсюда уже начинаются серьезные трудности, Хотя мы и выяснили, что выражение (л+1) необходимо должно быть простым числом, но мы не знаем еще: достаточно ли этого условия, чтобы выражение 2rt+1 —1 было простым числом? И вот при п = 10 мы убеждаемся, что этого еще недостаточно! Ибо
211 — 1=2047,
но, к сожалению, это число не простое и равно произведению 23 • 89. Значит, строить новые совершенные числа по образцу первых четырех не так легко, как кажется с первого взгляда.
— Вот видите,— прибавил Тимофей Иринархович, вынув изо рта свою удивительную трубку, где не отрываясь смотрели друг на друга шах и его мудрец, — вот вы и учитесь, как осторожно надо относиться ко всяким сходствам, или аналогиям. Сперва кажется, все идет так гладко и просто, а потом — хвать! — и все уж пошло по- другому. Правда, случай с совершенными числами — это случай особый, один из тех, какие нередко встречаются в высшей арифметике (теории чисел): на вид задача как будто бы и несложная, известна с незапамятных времен, а решения до сих пор никак не добьются. И задача-то не такая уж важная, а вот все еще не удалось выяснить, для каких значений простого числа р выражение 2Р — 1 будет простым числом, а для каких — составным. А отсюда и еще одно затруднение — нельзя ответить на
