Архимедово лето. Глава девятая.

совершенное число. Действительно,

23(24— 1) =8 . 15,

причем второй множитель, то есть пятнадцать, не является простым числом! Ну, к этому я еще вернусь… Берем для п следующее значе­ние, то есть четыре. Тогда по нашей формуле получаем:

496= 16 • 31 = 24(25— 1).

Тридцать один есть простое число, и формула дает нам третье совер­шенное число. Но для п, равному пяти, опять получается осечка, ибо мы получаем:

2 016 = 32-63.

Но шестьдесят три не простое число и две тысячи шестнадцать не со­вершенное. Даем п значение шесть и получаем:

8128 = 64-127 = 26(27— 1)*

Это четвертое совершенное число, а сто двадцать семь есть простое число.

— Значит, — спросил Лева, — второй множитель совершенного числа должен быть обязательно простым числом? Так я понимаю?

— Конечно, — отвечал Вася, — а отсюда следует, как уже сказал дедушка Тимоша, что и показатель степени при двойке во второй скобке тоже должен быть простым числом. Почему это так? Вот по­чему. Если бы число (п+1) не было простым, то и выражение 2rt + 1 — 1 тоже не было бы простым. Предположим, что наша степень (п+1) представляет собой составное число. В таком случае мы мо­жем написать, что

(n + 1) =ab,

где а и Ъ — простые числа. Тогда, значит,

(2я +1 — 1) = {2аЬ — 1).

Теперь вспомним, что сумма степеней двойки равна двойке в степени числа членов нашего ряда минус единица. Так или нет?

— Так, — ответил Ника.

— Тут еще один секрет надо знать насчет суммы ряда степеней двойки. Если взять несколько членов такого ряда, вычислить их сумму, а потом взять удвоенное, утроенное и вообще кратное число членов того же ряда и вычислить их сумму, то вторая сумма разде­лится без остатка на первую. Возьмем сумму трех первых членов:

1+2 + 4 = 7 = 23— 1,

Теперь удвоим число членов:

1 +2 + 4 + 8+ 16 +32=63 = 26~ 1.

Но шестьдесят три делится на семь. Утроим число членов:

1+2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64+ 128 + 256 = 511 = 29 — 1.

Но пятьсот одиннадцать тоже делится на семь. Так всегда и будет. Значит, если (/г+ 1) есть составное число, то и (1 — 1) пред­ставляет собой тоже составное число. И если (п+1) не есть простое число, то выражение 2rt + 1 — 1 тоже простым быть не может. Весь секрет в том, что если складывать степени двойки, начиная с нулевой, то не всегда получается простое число.

— Все-таки, — сказала Наташа, — лучше бы ты показал это все алгебраически!

— Алгебраически?.. — сказал в затруднении Вася. — Да, веро­ятно, можно, только я еще сам-то ни разу не пробовал, видишь ли…

— Хм… — произнес дед. Его перебил Ника:

— Вот что, позвольте-ка мне. Мне одна мыслишка в голову при­шла. Ручаться не могу, а, кажется, годится!

— Попробуй, — разрешил дед.

— Так вот, — сказал Ника. — Только вы уж не ругайтесь, если не получится. Все мы знаем, что разность кубов разлагается на раз­ность

Страница 11 of 23« First...10...1112...20...Last »
Category: Разное