Архимедово лето. Глава девятая.

— 1.

Так оно пойдет и далее. Сумма последовательных степе­ней двойки, если начать с нулевой степени, равна двойке в степени числа членов этого ряда минус единица. Правило простое! Берется следующий член того же ряда и из него вычитается единица. А если это так, то число двадцать восемь можно записать так:

28= (1 +2 + 4) +7(1 +2) = (23 — 1) + (23 — 1) . (22 – 1). Берем первый множитель, то есть (23—1) за скобку: 28 = (23 — 1) . (1 +22— 1) =22 • (23 — 1).

— Так тогда и шесть можно в этом роде написать! — сказала Веточка.

— Правильно! — отвечал Вася. — Вот я теперь все наши четыре совершенных числа и запишу по тому же образцу:

I) 2(22— 1) = 6, И) 22(23— 1) = 28,

III) 24(25— 1) = 496,

IV) 26 (27 — 1) — 8 128.

— Интересно, — сказала Наташа, — как ровно идет! В первом множителе степень повышается на два и во втором… нет… не совсем.

— То-то и дело, что не совсем! — ответил дедушка.— В первом множителе степени представляют собой просто четные числа, но во втором степенями двойки являются простые числа…

— Те, которые делятся только на единицу и на самих себя, — подсказал Ника.,

4.

— Так, может быть, — предложила Веточка, — это все ты, Вася, запишешь алгебраически, а то трудно разобраться.

— Можно и так, — отвечал докладчик Вася. — Охотно это сделаю. Тогда, исходя из моей записи числа двадцать восемь (сумма степе­ней двойки у меня будет обозначаться буквой Sn), я напишу так:

5я = Й° + 2х+22+… +2*=2* + 1 а теперь я обозначаю буквой Рп совершенное число, и оно будет:

Рп— (2я +1 — 1) + (2я +1 — 1) . (2п-1).

Беру множитель (2Й + 1— 1) за скобку и получаю:

Яя=(2й + 1-1) . (1 +2Я —1)=2Я(2Я + 1 —1).

Подписной значок п у больших букв S и Р обозначает, как и всегда в таких случаях, что речь идет или о сумме п членов ряда степеней двойки или о таком совершенном числе, куда двойка входит с пока­зателем п. А многоточие в формуле, определяющей Sn, обозначает: «и так далее вплоть до…». Так что первую мою формулу надо так читать: «два в нулевой плюс два в первой, плюс два во второй и так далее вплоть до двух в энной степени». Вот что это значит.

— Ну, это сообразить нетрудно, — отвечал ему Лева. — Давай-ка дальше. Рассказывай, как ты применяешь эту формулу.

— Применяю я ее вот как. Легко видеть, что все приведенные мною четыре совершенных числа можно тоже получить по этой фор­муле. Попробуем подставлять вместо п различные числа. Дадим п значение единицы. Тогда получим:

6 = 2.3 = 2(22—1).

Для п = 2 получаем:

28 = 4 ■ 7 = 22 (23 — 1) *

Для п = 3 получаем:

23(24— 1) = 120.

Но сто двадцать, как легко убедиться, не есть

Страница 10 of 23« First...1011...20...Last »
Category: Разное