гримасу, что кругом все так и прыснули. Но Лева был до того погружен в размышления, что даже не огрызнулся. Вдруг лицо его сразу прояснилось, и он произнес:
— Весь ряд ходов, который нужен для того, чтобы перевести все кружки со столбика А на столбик С, я буду называть игрой. Так вот какое у меня получается заключение: каждая игра, независимо от того, сколько кружков в ней участвует, исключая игру с одним кружком, представляет собой по числу и порядку ходов удвоенную предыдущую игру (игру, в которой одним кружком меньше) плюс еще один ход — это ход старшего кружка. Почему? Потому, что сперва надо собрать все кружки на палочке В, а затем перенести их на старший кружок, который к этому времени переберется на палочку С.
— Дело! — одобрительно вымолвил Тимофей Иринархович.
— Еще вот что, — продолжал Лева:—так как столбиков у нас три, то кружок может сделать только такое количество ходов, которое можно записать формулами:
3п; 3n+ 1; Зп + 2,
причем п может быть и нулем. Так оно и бывает для старших, больших кружков, самых больших. Однако если кружок сделает 3п ходов, то он просто вернется на тот же столбик, с которого он ушел; следовательно, это исключается. Остаются два случая: либо, идя по часовой стрелке, кружок сделает Зл+1 ходов, либо, идя против часовой стрелки, он сделает Зп + 2 ходов. Но что же это за числа, имеющие форму Зп–1 и Зл + 2? Если посмотреть на степени двойки, то легко заметить, что все четные степени двойки при делении на три дают в остатке единицу; другими словами, если из четной степени двойки вычесть единицу, то разность будет делиться на три; все же нечетные степени двойки при делении на три дают в остатке два; словом, если из нечетной степени двойки вычесть два, то раз- ность разделится на три без остатка. Вот и все, что я хотел сказать!
— Занятно! — похвалил его Вася.
— Эти усложнения, — добавил в заключение дед,—как вот у Левушки, дело поучительное. Начинается все очень просто, а что ни дальше, то хитрее. Но разберись — и получишь ключ к этой загадке! Нечто подобное получается иной раз в Дразнилке, где тоже ведь некоторые шашки должны уступать дорогу другим, как и кружки в Ле- вушкиной башне. Правда, это случай довольно простой, но ведь все с простого начинается! Надо поставить шашки бустрофедоном. Все готово, только на нижней строке пятнадцатая стоит впереди тринадцатой и четырнадцатой, вот так:
9 10 11 12 14 13 15
Все улаживается в восемнадцать ходов: 9, 10—14, 13, 15—12, 11—/5, 13, 14, /5—11, 12—13, 14, 15—10, 9;
я делю всю игру на отдельные эпизоды — разберите-ка, почему! — главный эпизод, самый обход напечатан курсивом. И смотрите: вслед за главным эпизодом остальные подготовительные повторяются в обратном порядке, и шашки в них почти всегда ходят тоже в обратном порядке (а почему не всегда?).
— Вот
