Архимедово лето. Глава четырнадцатая.

— Но можно пойти и дальше, — продолжал дедушка. — Если мы теперь перейдем к сорокавосьмиугольнику, то заметим, что для тако­го многоугольника — как и при всех дальнейших удвоениях числа сто­рон многоугольников! — существует следующее очень полезное пра­вило: площадь круга, которую мы получаем при помощи описанных многоугольников, не только всегда точнее, но даже точнее в опреде­ленной пропорции: примерно в два раза.

— Не понимаю, — сказал Лева, — что это может обозначать: «точнее в два раза»? Если одна величина больше другой в два раза, это ясно, но как может быть одна «точнее» другой в два раза?

— Это не так трудно понять, — отвечал дед. — Вот тут в чем дело. Если мы говорим, что одно приближение точнее другого в два раза, то мы будем и среднюю вычислять из двух приближений так, что более точному приближению мы дадим веры в два раза больше, чем второму. Доверие же наше в данном случае выразится в том, что мы будем повторять более вероятную величину два раза, а менее вероятную — только один раз, а сумму этих трех величин для получе­ния средней разделим уж не на два, а на три. Это называется взве­шенной средней, и вес первого приближения будет равен двум, а второго — одному. Назовем первую величину буквой а, вторую буквой b, взвешенную среднюю буквой с и получим формулу:

2а+1

с— з .

— Это получается вроде «правила товарищества», — сказал Лева, — или тройного правила. Так как будто?

— Конечно, — отвечал дедушка. — И вот таким-то образом можно- получить очень хорошее приближенное решение задачи о площади круга, если взять удвоенную площадь описанного многоугольника, прибавить к ней площадь вписанного, а сумму разделить на три. Если у нас будет двенадцатиугольник, то мы получим площадь круга* с ошибкой, равной лишь 0,07 процента, то есть меньше одной тысячной»

— Выходит, — сказал Лева, — что тот многоугольник, который больше искомой площади, уменьшаясь по площади с каждым удвое­нием своих сторон, скорее приближается к искомой площади круга, чем тот многоугольник, который меньше нужной нам площади и ко­торый постепенно увеличивается с удвоением сторон.

— Да, выходит так, — отвечал дедушка. — И если бы великий Архимед знал это правило — а найдено оно было только в семнадца­том веке— насчет соотношений точности (одна треть и две трети), то он мог бы получить из своего девяностошестиугольника (он ведь как раз на нем остановился!) не два правильных десятичных знака, а це­лых пять. Но даже известный уже нам Гиясэддин в пятнадцатом веке нашей эры еще не знал об этом, хотя и довел число сторон своих многоугольников до восьмисот пяти тысяч.

— Восемьсот пять тысяч!.. — повторил Вася, покачивая голо­вой.— Все-таки то, что он получил, оказалось правильным для всех кругов, потому что все круги подобны

Страница 5 of 38« First...56...1020...Last »
Category: Разное